A resolução de problemas que envolvem grandezas proporcionais pode
ser realizada através de uma regra prática denominada "regra de três".
Se tivermos duas grandezas diretamente proporcionais,
utilizaremos a "regra de três simples direta" e caso elas sejam
inversamente proporcionais, utilizaremos a "regra de três simples
inversa".
Nos problemas onde temos três ou mais grandezas, utilizamos a
"regra de três composta". Observe que neste caso, um mesmo problema pode
envolver tanto grandezas diretamente proporcionais, quanto grandezas
inversamente proporcionais.
Regra de Três Simples Direta
Uma
pessoa recebe R$ 1.800,00 por 30 dias trabalhados. Quantos dias esta
pessoa precisará trabalhar para ter direito a receber R$ 1.200,00?
Este é o típico caso da utilização de uma "regra de três simples
direta". Simples por envolver apenas duas grandezas proporcionais, e
direta, porque quando uma grandeza aumenta, a outra também aumenta. Se
uma diminui, o mesmo ocorre com a outra.
Chamemos de S a grandeza que representa o salário e de D a grandeza que representa o número de dias de trabalho e vejamos a representação abaixo:
As setas apontam na mesma direção, pois as grandezas são
diretamente proporcionais. Percebemos isto, pois ao diminuirmos o número
de dias trabalhados, também teremos o respectivo salário diminuído.
Como o salário vai ser reduzido, obviamente o número de dias de trabalho
também será. Concluímos assim, que as grandezas S e D são diretamente proporcionais.
De acordo com a orientação das setas, podemos então montar a proporção:
Concluímos que para ter o direito a receber os R$ 1.200,00, a pessoa terá que trabalhar por 20 dias.
Como você pode notar, a resolução de um problema de regra de
três, tem por base a "propriedade fundamental das proporções".
Regra de Três Simples Inversa
Dois
pedreiros trabalhando juntos conseguem construir um certo muro em 6
horas de trabalho. Se ao invés de dois, fossem três pedreiros, em
quantas horas tal muro poderia ser construído?
Você pode facilmente compreender que aumentando o número de
pedreiros, o tempo necessário para a construção do muro será menor, pois
a mão de obra aumenta, mas a tarefa continua a mesma.
Percebemos então que este problema trata grandezas inversamente
proporcionais, ou seja, quando uma grandeza aumenta, a outra diminui e
vice-versa.
Vamos chamar de P a grandeza que representa a quantidade de pedreiros e de H a grandeza que representa o número de horas de trabalho para a construção do muro. Vejamos então a representação abaixo:
Neste caso as setas apontam na direção oposta, pois as grandezas são inversamente proporcionais.
Para a resolução do problema, iremos novamente utilizar a
"propriedade fundamental das proporções", no entanto para que isto seja
possível, devemos primeiro deixar as duas setas com a mesma orientação.
Como a seta referente à grandeza H (a grandeza referente ao x) está para cima, iremos inverter os termos da outra razão para que a sua seta também fique para cima:
Perceba que sempre que tenhamos que realizar alguma mudança na orientação das setas, a grandeza que contém o termo x
é tomada como referência e não é alterada. A outra grandeza, ou outras
no caso de se tratar de uma regra de três composta, é que deve mudar.
Então agora podemos montar a proporção segundo a "propriedade fundamental das proporções":
Portanto com três pedreiros serão necessárias apenas 4 horas de trabalho.
Regra de Três Composta
Uma pessoa consome 4000 litros de água por mês. Quantos litros de água duas pessoas irão consumir em um ano?
Primeiramente para facilitar a explicação, iremos atribuir uma letra a cada grandeza. Sejam elas:
- P: O número de pessoas;
- L: A quantidade de litros de água;
- T: O período de tempo envolvido.
Montemos a representação para analisarmos o problema, mas no
lugar de um ano, iremos utilizar doze meses, para que os dois períodos
de tempo fiquem na mesma unidade de medida:
A ordem de colocação das grandezas na representação acima, é a
mesma que a do enunciado do problema. Como você pode perceber, a
grandeza L, que é a grandeza que estamos procurando (a grandeza que contém o termo x),
não está posicionada nem à direita, nem à esquerda do diagrama. Isto é
uma má ideia, pois irá dificultar em muito a resolução do problema, por
isto devemos passá-la para a extremidade direita, ou para a esquerda.
Vamos escolher esta última:
Agora ficou melhor, vamos então identificar a orientação das
setas, ou em outras palavras, determinar se as grandezas são diretamente
ou inversamente proporcionais entre si.
A grandeza de referência é a grandeza L. A posição da sua seta pode ser arbitrada tanto para cima, quanto para baixo, tanto faz. Vamos escolher para baixo:
Agora vamos determinar se L e P são diretamente
proporcionais ou não. Sabemos que uma pessoa consome 4000 litros. Como
mais pessoas irão consumir mais litros, então as grandezas são
diretamente proporcionais, logo a seta de P terá a mesma orientação da seta de L, ou seja, também para baixo:
Finalmente falta-nos determinar se L e T são
diretamente ou inversamente proporcionais. Sabemos que em um mês são
consumidos 4000 litros. Obviamente se aumentarmos o tempo de consumo,
também aumentaremos o consumo em litros, então as grandezas são
diretamente proporcionais, logo a seta de T terá a mesma orientação da seta de L, isto é, para baixo:
Se houvesse alguma seta com orientação oposta à seta de L, os termos desta grandeza deveriam ser invertidos. Como não é o caso, basta-nos montarmos a proporção e resolvê-la:
Portanto
as duas pessoas irão consumir 96 mil litros de água em um ano. A título
de curiosidade, 96000 litros equivalem a 96 metros cúbicos.
Fonte site Matemática Didática
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